Eine besondere Rechenaufgabe

Kategorie: Mathematik
Anleitung als PDF

Das ist aber eine sehr merkwürdige Rechenaufgabe.

KaLi Schaufuchs stellt Euch heute eine ganz seltsame Kettenaufgabe:

• Addiere zu deiner Hausnummer die letzten beiden Ziffern deiner Telefonnummer.

• Zähle dein Alter dazu.

• Ziehe die Anzahl deiner Geschwister ab.

• Addiere deine Lieblingszahl.

• Dann 7 abziehen.

• Dein Taschengeld dazu addieren.

• Multipliziere das Ergebnis mit 45.

• Addiere alle Ziffern der Zahl (Bilde die Quersumme; von 123 ist damit die Quersumme 1 + 2 + 3 = 6 ).

• Hat das Ergebnis mehr als eine Ziffer, so bilde immer wieder erneut die Quersumme, bis nur eine Ziffer übrig bleibt.

• Das wird die Zahl Neun sein!

Nanu, wie kann man wissen was raus kommt, wenn man die Zahlen aus der Rechnung gar nicht kennt?

Da stellt sich doch die Frage: Warum ist das Endergebnis der Kettenaufgabe immer 9?

(CC BY-SA 3.0)

Erklärung

Wir nehmen irgendeine Zahl und wenden einige Rechenaktionen darauf an, und am Ende kommt immer dasselbe heraus: 9. Ab irgendeiner Stelle muss also egal sein, welche Zahl wir am Anfang hineingesteckt haben. Es gibt einen mathematischen Satz, der besagt: Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme duch 9 teilbar ist. Den beweisen wir hier nicht, das ist ein bisschen zu kompliziert.

Hilft uns das? Ja! Schauen wir uns einmal die einzelnen Rechenschritte an: An siebter Stelle steht: „Multipliziere das Ergebnis mit 45“. Welche Zahl – nennen wir sie X – wir auch immer vorher hatten, das Ergebnis 45 * X wird auf jeden Fall durch 9 teilbar sein, denn 45 ist duch 9 teilbar!

Das machen wir uns zunutze: Also muss auch die Quersumme von 45 * X durch 9 teilbar sein. Der letzte Rechenschritt verkleinert die Quersumme dann nur noch, bis eine einzige einstellige Zahl übrigbleibt. Da wir immer nur Quersummen von Zahlen bilden, die durch 9 teilbar waren (die vorherigen Quersummen), bleibt immer eine Zahl übrig, die durch 9 teilbar ist. Wenn die Zahl einstellig und durch 9 teilbar ist, muss es die 9 selbst sein.

PS: Das Ganze würde auch funktionieren, wenn wir im siebten Schritt („Multipliziere mit 45“) mit 81 oder 54 oder 27 multipliziert hätten – es muss eben nur ein Vielfaches von 9 sein!

KaLi Schlaufuchs ist auf Deine Beobachtungen und Antworten gespannt, die Du in Dein Forscherprotokoll eintragen und dann an KaLi Schlaufuchs schicken kannst. Oder du schreibst deine Antwort einfach als Mail an frage@kali-schlaufuchs.de

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