Stellt Euch vor, Ihr seid Mitspielerin oder Mitspieler in einer Spielshow im Fernsehen! Ihr könnt ein Auto gewinnen. Oder eine Spielkonsole! Oder etwas Anderes ganz Tolles! Und wie bei einer Lotterie gibt es auch Nieten. Das sind hier Ziegen.
Das Ziegenproblem
Kategorie: Mathematik
Erklärung
Lasst uns einmal alle Möglichkeien aufschreiben. Nehmen wir der Einfacheit halber an, dass wir Tür 1 gewählt haben. Das nennt man in der Mathematik „ohne Einschränkung der Allgemeinheit“. Es bedeutet, dass wir un Schreibarbeit sparen, weil sich an den Zahlen und Gedanken nichts ändert, wenn wir anfänglich Tür 2 oder Tür 3 wählen. Am Ende wollen wir ja nur wissen, ob es einen Unterschied macht, wenn wir die Tür wie vom Moderator vorgeschlagen wechseln, nachdem er oder sie eine Tür geöffnet haben.
Also: Wir entscheiden uns für Tür 1. Dann öffnet der Moderator eine Tür mit einer Ziege (klar!). Dafür gibt es folgende Möglichkeiten:
| Tür 1 | Tür 2 | Tür 3 | Moderator öffnet welche Tür? | Gewinnen wir, wenn wir die Tür wechseln? |
| Ziege | Auto | Ziege | 3 | Ja |
| Ziege | Ziege | Auto | 2 | Ja |
| Auto | Ziege | Ziege | 2 oder 3 | Nein |
Wir sehen also: Ohne Moderator/in haben wir eine Chance von 1:3 ≈ 33,33%, das Auto zu gewinnen, wir wählen einfach wie bei einer Lotterie eine von drei Türen. Bei diesem Spiel aber steigt unsere Gewinnchance auf 2/3 ≈ 66.6%, weil wir in zwei von drei Fällen das Auto gewinnen, wenn wir wechseln!
Glaubt Ihr nicht? Dann spielt das Spiel doch einfach mal 20x oder 30x mit Euren Geschwistern und schreibt auf, wie oft Ihr gewinnt, wenn Ihr die Tür wechselt! Es gibt angeblich sogar Mathematiker/innen, die die Aussagen des Ziegenproblems ablehnen und nicht daran glauben, dass es sich lohnt, die Tür zu wechseln.
Wenn wir das Ganze mathematisch noch gründlicher betrachten, müssen wir Begriffe wie „bedingte Wahrscheinlichkeiten“ benutzen. Das sind Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse unter der Bedingung, dass zuvor ein anderes Ereignis eingetreten ist.
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